στα μαθηματικα αυτο που προηγειται παντα ειναι τα αξιωματα,δηλαδη καποιες προφανεις προτασεις της διασθησης μας που τις δεχομαστε a priori χωρις αποδειξη.στη συνεχεια με τους κανονες της λογικης συναγομε τα αποτελεσματα και με βαση αυτα τα αποτελεσματα παραγουμε αλλα αποτελεσματα κ.ο.κ.επομενως καθε προταση-θεωρημα των μαθηματικων αναγεται τελικα στα αξιωματα.χωρις αξιωματα δηλαδη δεν μπορουν να υπαρξουν μαθηματικα.αλλα και χωρις λογικη το ιδιο!!
σιγουρα το τελειοτερο συστημα αξιωματων που παραγει μια πολυ πλουσια θεωρια με απειρες εφαρμογες ειναι η γεωμετρια του ευκλειδη που μαθαινουμε στο λυκειο.εδω και 2000 χρονια οι μαθηματικοι ολου του κοσμου προσπαθησαν να μιμηθουν τον ευκλειδη στη δημιουργια μιας καινουριας θεωριας.λιγοι τα καταφεραν.στη θεωρια συνολων που μας απασχολει εδω,αυτο το εργο αποσειχτηκε πολυ δυσκολο.και αυτο διοτι ο διαισθητικος ορισμος του Cantor για την εννοια του συνολου οδηγουσε σε λογικα παραδοξα.
στη προσπαθεια του να θεμελιωσει τη συνολοθεωρια ο Gottlob Frege (και κατ επεκταση ολα τα μαθηματικα) δεχθηκε ενα ισχυρο πληγμα απο την επιστολη που του απεστειλε ο Bertran Russel στην οποια ισχυριζοταν οτι η βασικοτερη αρχη της θεωριας ηταν λανθασμενη διοτι οδηγουσε σε μια αντιφαση που κανεις δε μπορουσε να αποφυγει οσο κι αν προσπαθουσε.ο Frege απογοητευτηκε και χαρακτηριστικα ανεφερε τα εξης,
Δεν υπαρχει μεγαλυτερη ατυχια που μπορει να συμβει σε εναν συγγραφεα επιστημονικου συγγραματτος απ αυτην του να δει καποιο απο τα θεμελια του οικοδομμηματος του να τρεμει μετα το τελοςτης οικοδομησης.αυτη ηταν η θεη στην οποια περιηλθα μετα απο ενα γραμμα του κυριου Russel ακριβως τη στιγμη που το τυπωμα αυτου του τομου ηταν κοντα στο τελος του.
το προβλημα βρισκοταν στο πεμπτο αξιωμα του Frege συμφωνα με το οποιο δεν υπαρχει ιδιοτητα που να μην περιγραφει καποιο συνολο αποτελουμενο απο ακριβως εκεινα τα αντικειμενα που ικανοποιουν την ιδιοτητα αυτη.το παρεαδοξο του Russel ηταν απλο,συντομο και χτυπουσε κατ ευθειαν στην καρδια της θεωριας!το αξιωμα που χτυπουσε το παραδοξο ειναι γνωστο ως γενικη αρχη αρχη συμπεριληψης (ΓΑΣ) και φαινομενικα ελεγε το πιο λογικο πραγμα στον κοσμο.Π.χ. θεωρησε την ιδιοτητα <<ο χ ειναι μαλακας>>.φτιαξε τωρα το συνολο που εχει για μελη ολους αυτους που ικανοποιουν αυτη την ιδιοτητα,δηλαδη ολους τοτς μαλακες.αυτη ειναι η ΓΑΣ και ο Russel απεδειξε οτι ειναι λανθασμενη φτιαχνοντας ενα συνολο με αυτη τη συνταγη και καταληγοντας σε αντιφαση.
ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΤΟΥ RUSSEL
σχεδον ολα τα κοινα μαθηματικα συνολα εχουν την ιδιοτητα να μην ανηκουν στον εαυτο τους.π.χ.το συνολο ολων των αριθμων δεν ειναι αριθμος.ενα συνολο ομως συγκεκριμενα εχει την ιδιοτητα να ανηκει στον εαυτο του.ειναι το συνολο ολων των συνολων!θεωρουμε λοιπον το συνολο
οπου set(x)σημαινει οτι το x ειναι συνολο.οπως βλεπουμε αμεσως το Α ανηκει στον εαυτο του αν και μονο αν δεν ανηκει στον εαυτο του,αντιφαση!!επομενως η ΓΑΣ ειναι λαθος.η ελπιδες του Frege κατερευσαν σαν τραπουλοχαρτα.ευτηχως ομως η ιστορια επιφυλλασε για την σωτηρια της θεωρια τη μεγαλοφυια του Zermello.αυτος θα βγαζε τα καστανα απο τη φωτια και θα εδινε στη θεωρια συνολων τη θεση που της αξιζε.οπως ελεγε και ο Hilbert <<κανεις δε μπορει να μας απομακρυνει απο τον παραδεισο που ο Cantor εφτιαξε για μας>>.
στη συνεχεια θα δουμε πως γλιτωνουμε απο τα παραδοξα δεχουμενοι πως υπαρχουν κι αλλα πραγματα εκτος απο συνολα,οι κλασεις.
e^iπ + 1 = 0