Σάββατο, 23 Φεβρουαρίου 2008

Η ΧΑΜΕΝΗ ΔΙΑΤΑΞΗ

εκει λοιπον που καθοταν οι αριθμοι ησυχα κι ωραια ξαφνικα μπουκαρει ο i.κανεις δεν τον περιμενε και λιγοι τον ηθελαν.ετσι γυρισαν ολοι να τον κοιταξουν.δεν εμοιζε με κανεναν απο τους γνωστους,επαθαν ολοι πλακα.εσπευσαν να τον αγγιξουν να δουνε τι σοι πραμα ηταν.κι αυτος δε μιλουσε,εκανε υπομονη.τους ειχε λυσει το προβλημα με την αρνητικη διακρινουσα και το νιωθε πως ειχε κανει κατι σπουδαιο.το θεμελιωδες θεωρημα της αλγεβρας ειχε αποδειχτει απο τον gauβ εξαιτιας του.ηταν σιγουρος ο τυπος κανεις δε θα τολμουσε να τον διωξει.και οχι μονο αυτο.απ φασισε να τους το κανει αχουρι το σπιτι τους.
μια μερα εκει που καθοταν στο σπιτι και σκοτωνε την ωρα του αποφασισε να βγει για ποτο.φορεσε τα καλα του και βγηκε παγανια στα μπαρακια του R (πραγματικη ευθεια).ηθελε να την πεσει στα γκομενακια.μπαινει λοιπον σε ενα μπαρ και αντικρυζει εκεινη τη θεογκομενα την εκθετικη συναρτηση.το πηρε απο φαση,θα της πετουσε τα ματια εξω εκεινο το βραδυ.αυτη ομως ηταν κυρια δε θα του καθοταν απο το πρωτο βραδυ.για ποια με περασες ρε μαγκα?του λεει κι αυτος τα πηρε στο κρανιο.αποφασισε να τα κανει λαμπογυαλο στο R.απο την επομενη μερα αρχισε να πηγαινει με ολους τους αριθμους για να εκδικηθει για τη χυλοπιτα.ως που καποια στιγμη οι πραγματικοι δε μπορουσαν να μπουν σε μια σειρα και να συννεχισουν τη ζωη τους.ειχαν χαθει τα παντα.δεν ηξεραν που βρισκονταν,ποιος ηταν πρωτος,ποιος ηταν δευτερος.ειχαν χασει τη σειρα τους.αποφασισαν να δρασουν.

μια επετροπη κατευθασε στο σπιτι του i για να τον παρακαλεσει να τους ξαναβαλει σε σειρα και να συνεχισουν τη ζωη τους.αλλα αυτο που πηραν ως απαντηση τους φιμωσε για παντα.καταλαβαν οτι αυτος ο εξωγηινος τους ηταν απαραιτητος αλλα και ζημιαρης.η συζητηση μεταφερεται αυτουσια:

- γεια σου i
-καλως τα παιδια.τι θελετε?
-να θελουμε να βαλεις παλι στη σειρα,να ξερουμε ποιος ειναι ο μεγαλυτερος και ποιος ο μικροτερος,μπορεις?
-μπορω αλλα πρεπει πρωτα να σκοτωσετε τα παιδια μας,τους μιγαδικους αριθμους.μπορειτε να το κανετε?
-οχι! τι ειναι αυτα που λες δολοφονε!
-ενταξει τοτε εγω θα ρωταω και σεις θα απαντατε και θα δειτε πως αυτο που θελετε δε γινεται.οκ?
-οκ! ξεκινα
-δε μου λες εσυ 0 που εισαι και αρχηγος,αν υποθεσουμε οτι μπορουμε να διαταχθουμε δε θα πρεπει να υπαρχει το συνολο των αριθμων που θα σε ξεπερναν? (οι θετικοι αριθμοι)
-σαφως,αυτο εξυπακουεται.
-ωραια,και για τους αλλους δε πρεπει να ισχυει το (-).(-)=+? δηλαδη το γινομενο δυο αρνητικων να κανει θετικο?
-σαφως και αυτο δε το συζηταμε.
-μαλιστα.και ειδικοτερα το τετραγωνο καθε αριθμου δεν πρεπει να ναι θετικο?
-ε βεβαια,δε γινεται αλλιως.
-και αν προσθεσω δυο θετικους δε θα πρεπει να βγαινει παλι θετικο?
-ε καλα αυτο κι αν εξυπακουεται.
-κοιτα ομως τι θα παθεις τωρα.
-τι?
-αν τετραγωνισεις εμενα και μου προσθεσεις το 1 (που ειναι θετικος) τι θα παρεις?
-θα παρω εμενα,δηλαδη 0.
-ναι αλλα εγω στο τετραγωνο (i^2) πρεπει να μαι θετικος η 0.και αν βαλω και 1 θα πρεπει i^2+1>0. ομως i^2+1=0.αρα καταληγουμε σε ατοπο ετσι δεν ειναι?
-ωχ,εχεις δικιο φιλε.
-ειδες που δε γινεται να ξαναμπειτε σε σειρα?
-μαλιστα δε γινεται εχεις δικιο.
-αιντε στο καλο τωρα.

η επιτροπη αποχωρησε ντροπιασμενη και με τις λιγες της δυναμεις ενημερωσε ολους τους αριθμους οτι η γαληνη τους ειχε χαθει για παντα.δεν υπηρχε τροπος να ξαναμπουν στη σειρα.κι αυτο λογω της εξισωσης που τους ειχε λυσει το προβλημα της αρνητικης διακρινουσας,

i^2+1=0

αργησανε να το αποδεχτουν αλλα στο τελος συμβιβαστηκαν και ηρεμησαν.και απο τοτε ολες οι πολυωνυμικες εξισωσεις βρισκουν ανετα τις ριζες τους στο απειρο αχουρι των αριθμων.
ολες ειπα? αμ δε....

Τρίτη, 12 Φεβρουαρίου 2008

Η ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ (...συνεχεια)


λεγαμε λοιπον οτι ο i δεν ειναι τοσο εξωγηινος οσο νομιζαν οι αλλοι αριθμοι.το σωστοτερο ειναι να πουμε πως αγνοουσαν την υπαρξη του.και αυτο βεβαια θα μπορουσε να αποδειχτει με την υπαρξη μιας σχεσης με αλλους αριθμους που ηταν ηδη γνωστοι.εκτος βεβαια απο τη σχεση του με το -1 που τον οριζε.υπαρχει λοιπον μια τεοια σχεση?ποιος γηινος αριθμος θα μπορουσε να συνδεθει για παντα με εναν εξωγηινο?κι ομως για αυτον τον σκοπο εσπευσαν οι καλυτεροι και σημαντικοτεροι αριθμοι.0,1,π και e (η βαση των νεπεριων λογαριθμων, e=2,71828..) οι πιο σπουδαιοι και οι πιο πολυχρησιμοποιημενοι απο ολους τους αλλους.ποια σχεση τους συνεδεσε?ειναι μαι σχεση παθους δυναμης και εξουσιας αναμεσα στους καλυτερους.

ο i ο εξωγηινος εισβολεας αποφασισε μια μερα να ταξιδεψει στη γη.τον ειχαν καλεσει ο Tartalia και ο Cardano για να τους βοηθησει να λυσουν την εξισωση 3ου βαθμου.τοσο δυσκολη ηταν! αμεσως ο αρχηγος, το 0, συγκαλεσε συμβουλιο με τους αρχιστρατηγους τον e,τον π και τον 1.επρεπε να βρεθει τροπος να εξοντωθει.θα εψαχναν τον μαγικο συνδυασμο για να οδηγησουν τον ακαλεστο επισκεπτη στο βουρκο και το σκοταδι.θα τον υποχρεωναν να οδηγηθει στο καστρο του αρχηγουν ,του 0, οπου δε θα χε καμια ελπιδα.επρεπε να βρεθει το μονοπατι της καταστροφης.οι ξεροκεφαλοι ομως δεν πηρανε χαμπαρι οτι ετσι το μονο που θα καταφερναν θα ηταν να τον βαλουν πιο βαθεια στην οικογενεια των αριθμων.
ψαχνανε να βρουνε ενα μυαλο που να κανει πραξεις σαν κομπιουτερακι τοσο γρηγορος επρεπε να ναι αυτος.διοτι εκτος απο τον αρχηγο και τον 1 οι αλλοι δυο ητανε αρρητοι οποτε ηταν σχεδον αδυνατο να γινουν πραξεις με αυτους.εκτος αν τις πραξεις τις εκανε ο μεγαλυτερος υπολογιστικος εγκεφαλος που εζησε ποτε.αμεσως βρηκαν τον ανθρωπο τους.ηταν ο leonhard Euler (1707-1783) o ελβετος που ζουσε για να υπολογιζει.κι αυτος τους δικαιωσε.

μετα απο τερατωδεις υπολογισμους εβγαλε απο το κεφαλι του και απεδειξε τον σπουδαιοτερο τυπο των μαθηματικων,

e^iπ + 1 = 0

οι σπουδαιοτεροι αριθμοι ειχαν συνδεθει με τον εξωγηινο για παντα.οχι μονο ταπρωτο παλικαρα 0,1,e,π δεν εξοντωσαν τον εξωγηινο i αλλα ο τελευταιος τους ειχε πιασει μαλακες.τους ειχε κανει ματ με τρεις κινησεις.δεν ειχε ξανασυμβει.οι πραγματικοι αριθμοι θεωρουνταν πλεον μιγαδικοι που τους ελειπε το φανταστικο μερος,ενω πριν λιγο καιρο οι μιγαδικοι θεωρουνταν μπασταρδεμενοι πραγματικοι.η αλλαγη ηταν επιπονη και μακροχρονια αλλα ο i πηρε τη θεση που του αξιζε.οι μιγαδικοι του στησαν αγαλμα στην κεντρικη πλατεια του επιπεδου και πλεον καθε αριθμος που σεβεται τον εαυτο του εχει και φανταστικο του μερος που δεν ηταν καθολου φανταστικο εδω που τα λεμε.μια χαρα υπαρκτο μερος ηταν.

οι αλλοι αριθμοι ενθουσιαστηκαν με τη νεα διευρυνση τους! αλλα ουδεν καλο αμιγες κακου.κατι ειχε χαθει.επρεπε να πεθανει κατι για να μπορεσει να μπει ο i στην οικογενεια.κατι μεγαλο και βασικο.κατι που εβαζε τα πραματα στη θεση τους και εκανε το συνολο των αριθμων να μοιαζει με σπιτι και οχι με αχουρι.τι ηταν αυτο αραγε που χαθηκε?υπηρχε τροπος να γλιτωσουυμε κακο? δυστηχως η απαντηση ηταν ΟΧΙ!! ηταν τοσο μεγαλο το κακο?

συνεχιζεται...

Κυριακή, 10 Φεβρουαρίου 2008

OI ΚΛΙΚΕΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ


Μια φορα και εναν καιρο ηταν οι γνωστοι μας φυσικοι αριθμοι (0,1,2,3,4,5,6,7...κτλ),οι οποιοι κατα τον Kronecker ηταν το δωρο του θεου στον ανθρωπο.Ως παλιοτεροι λοιπον αρχισαν να το παιζουν μαγκες μεταξυ τους αφου αλλοι δεν υπηρχαν.καθως ομως η ζωη των ανθρωπων δυσκολευε οι φυσικοι αριθμοι εχαναν την απολυτη κυριαρχια τους.ο Διοφαντος ας πουμε ειχε παει ενα βραδυ για ποτο στην αλεξανδρεια ( στο bar "THE NUMBERS") και δεν ειχε πανω του ουτε εναν οβολο.σκεφτηκε λοιπον και λεει στον μπαρμαν "ακου φιλε επειδη δεν εχω λεφτα θα στα χρωσταω.το ακουν οι αριθμοι που λες και μενουν μαλακες.τι θα πει χρωσταω? αυτοι το μονο που ξεραν ηταν να βγαζουν απο τον μεγαλυτερο τον μικροτερο και οτι εμενε ηταν η διαφορα.στην περιπτωση του διοφαντου ομως πως να αφαιρεσεις κατι απο το τιποτα?δε γινεται.
σηκωμεται τοτε το μηδεν και λεει στους αλλους αριθμους: " ε μαλακες,αν δε κανουμε κατι θα μας ξεχασουν ολοι.το βρηκα! θα γινουμε διπροσωποι.δηλαδη?ρωταν οι αλλοι.να ,λεει το 0,οταν καποιος δε θα μπορει να κανει την αφαιρεση θα του δανειζουμε και μετα θα τα χρωσταει! π.χ. ο διοφαντος χρωστουσε 7 οβολους.αρα πληρωσε -7 οβολους.το - (μειον) δηλαδη θα καθαριζει για μας" ετσι γεννηθηκαν οι ακεραιοι(οι φυσικοι και οι αντιθετοι τους),για να μπορει ο διοφαντος να πιστολιαζει στα μπαρακια.
αφουπερασαν τα χρονια καποια στιγμη τα εγγονια του διοφαντου ο αρχυτας και μητσαρας ειχαν γεννηθει και ο παππους τους θα τους πηγαινε δωρο απο μια σοκολατα.ομως ο περιπτερας του δωσε και μια δωρο και να σου ο διοφαντος να θελει να κοψει το 3 στα 2.τοτε το 3 γυρναει στο 2 και του λεει "ρε μαλακα αφου δε με διαιρεις ασε με ησυχο,πως θα με κοψεις στα δυο?"ομως τα παιδια επρεπε να φανε σοκολατα!το 0 καθαρισε παλι: "καντε τις παππιες,αν πρεπει να κοπει το 3 στα 2 τοτε το 2 θα παει και θα καθεται κατω απο το 3 με μια ομπρελα για να μη χτυπανε"ετσι γεννηθηκαν τα κλασματα που ηταν οι ρητοι αριθμοι και για καθε ρητο χρειαζοταν δυο ακεραιοι με τον απο κατω οχι μηδεν (γιατι οχι αληθεια?) .
και καπου εκει οι αριθμοι ησυχασαν.ειχαν καλυψει καθε δυνατη πραξη που μπορουσε να γινει.εφυγαν λοιπον για διακοπες! αμ δε...
εκει που παιζανε ρακετες στην παραλια ερχεται το ενα κλαιγοντας και λεει στον αρχηγο το 0 :"φιλε εχουμε προβλημα κατι μας ξεφυγε.τι? λεει το 0.να λεει ημουν πανω σε ενα ορθογωνιο τριγωνο με καθετες πλευρες μηκους 1 και οταν κουραστηκα πηγα να ξαπλωσω στην υποτεινουσα για να εχω λιγη απλα.ε και που ειναι το προβλημα?λεει το 0.να λεει προσπαθουσα να καταλαβω ποσες φορες χωραω πανω της και απεδειξα οτι αυτος ο αριθμος δεν ειναι ρητος.οριστε και η αποδειξη,αν υποθεσουμε οτι χωραω ρητο αριθμο φορων και γραψω το κλασμα αναγωγα τοτε αποδυκνυω οτι ο αριθμητης και ο παρονομαστης ειναι ζυγοι αρα το κλασμα απλοποιειται κι αλλο.δεν ειναι δυνατον φωναζει το 0.γυρναμε ολοι πισω!!! "
αφου σκεφτηκαν και ξανασκευτηκαν καταλαβαν οτι οι αρρητοι (οι οχι ρητοι) ειναι πολυ περισσοτεροι απο αυτους τους ρητους.αλλα αν οι ρητοι εκαναν μεγαλες αλυσιδες πιασμενοι χερι χερι τοτε θα μπορουσανε να βρουνε ολους τους αρρητους.τωρα πλεον ηταν σιγουροι,δεν ειχε ξεφυγει τιποτα,δεν υπηρχαν αλλοι αριθμοι.κι ομως...
ο ανθρωπος ειχε φτασει στο σημειο να λυνει δευτεροβαθμιες εξισωσεις και χαιροτανε πολυ οταν εβρισκε ποιοι αριθμοι μηδενιζουν ενα πολυωνυμο οποιουδηποτε βαθμου.υπηρχε ομως μια εξισωση που δε φαινοταν να μηδενιζεται πουθενα. ηταν η χ^2 +1 = 0.κανενας ρητος η αρρητος δεν την επαληθευε,και ηταν τοσο απλη η καημενη! μαζευτηκαν λοιπον οι πραγματικοι (ρητοι και αρρητοι ) και εφτιαξαν με τον νου τους εναν εξωγηινο που θα μηδενιζε την εξισωση.τον αποκαλεσαν φανταστικη μοναδα (δε θα τον δεχονταν ποτε ως ισο μ αυτους οι ρατσιστες) και του δωσαν και ενα ειδικο συμβολο για να ξεχωριζει.ηταν το i.ετσι μετα απο αυτο εγινε το πειραμα.βαλανε οπου χ τον i.και πετυχε,

i^2+1=0 ευρηκα!!!!
αργοτερα οι φανταστικοι αριθμοι(τα πολλαπλασια του i) παντρευοταν με τους πραγματικους αριθμους και ετσι γεννηθηκαν οι μιγαδικοι αριθμοι (απο το μιγαδες).τωρα η ιστορια ειχε κλεισει,η ανθρωπινη δραστηριοτητα δε θα γεννουσε αλλες αναγκες για νεους αριθμους.δεν υπηρχε περιπτωση.

Υ.Γ. μηπως ο i ο φανταστικος δεν ηταν τοσο εξωγηινος?....συνεχιζεται

Δευτέρα, 4 Φεβρουαρίου 2008

ΤΟ ΚΟΣΚΙΝΟ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ


Μια μερα τα παιδακια του σχολειο ξεκινησαν να πανε εκδρομη.ο μαθηματικος ομως ειχε προγραματισει διαγωνισμα για κεινη τη μερα και θυμωσε προς στιγμην γιατι τα παιδια δε θα γραφαν.ηταν κρισιμο βλεπεις το διαγωνισμα.ειχε ομως την περιεργεια να δει ποσοι απο τους μαθητες του ητανε διαβασμενοι και ετσι αποφασισε να συνδυασει την εκδρομη με το διαγωνισμα ο αθεοφοβος.οχι δε θαβαζε τα παιδια να γραψουν την ωρα που επαιζαν ανεμελα,ηταν καλος ανθρωπος.
εκατσε και σκεφτηκε και αποφασισε να εξετασει τα παιδια κατα τη διαρκεια του περιπατου ζητωντας τους να κρατανε στο χερι τους τον αριθμο της σειρας τους.εβαλε τα παιδια το ενα πισω απο το αλλο και θα ρωτουσε(χαριτολογωντας για να μην τον καταλαβουν) καθενα αν ο αριθμος που κρατουσε ηταν πρωτος,δηλαδη αν διαιρουταν μονο με τον εαυτο του και τη μοναδα.ετσι θα καταλαβαινε ποια παιδια ειχανε διαβασει χωρις να επηρεασει τη χαρα της εκδρομης.
ο μικρος Ερατοσθενης ομως ηταν διαννοια στα μαθηματικα και καταλαβε αμεσως τους σκοπους του καθηγητη του.το λεγανε ολοι "αυτο το παιδι θα κανει μεγαλα πραγματα".μολις ξεκινησε ο περιπατος και προτου ο καθηγητης βαλει μπρος το τρομερο του σχεδιο μιλησε για λιγο με τον φιλο του τον αρχιμηδη.αφου τον ρωτησε κατι, σιγουρευτηκε για την αποφαση του να γλιτωσει ολη την ταξη απο την ερημην εξεταση της.
ξεκινησαν λοιπον και ο ερατοσθενης φωναξε."ΚΑΘΕ ΠΑΙΔΙ ΝΑ ΞΕΚΙΝΗΣΕΙ ΚΑΙ ΝΑ ΣΚΙΣΕΙ ΣΤΗΝ ΑΚΡΗ ΤΟΥ ΚΑΘΕ ΧΑΡΤΙ ΠΟΥ ΕΧΕΙ ΑΡΙΘΜΟ ΕΝΑ ΠΟΛΑΠΛΑΣΙΟ ΤΟΥ.ΠΡΟΣΟΧΗ!ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΣΚΙΣΕΙ ΤΟ ΔΙΚΟ ΤΟΥ ΧΑΡΤΙ ΚΑΙ ΑΣ ΕΙΝΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ΤΟΥ ΕΑΥΤΟΥ ΤΟΥ.ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΝΑ ΓΥΡΙΣΕΙ ΚΑΤΕΠΕΙΓΟΝΤΩΣ ΣΤΗ ΘΕΣΗ ΤΟΥ.ΤΟΤΕ ΤΑ ΧΑΡΤΙΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ ΣΚΙΣΤΕΙ ΑΝΑΓΡΑΦΟΥΝ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ!
ο ερατοσθενης ηταν σιγουρος πως θα πετυχει,και ας ακουσε τα παραπονα του μιλτιαδη που κρατουσε το 2 οτι χρειαστηκε να τρεξει ως τον τελευταιο,τον σωκρατη,που κρατουσε το 20.αντιθετως ο αριστειδης που κρατουσε το 11 δεν εκανε απολυτως τιποτα και ουτε εσκισε κανεις το χαρτακι του.απεμειναν ετσι με αθικτο χαρτακι μονο τα παιδια με τους αριθμους 2,3,5,7,11,13,17,19(το χαρτι με το 1 το κρατησε ο καθηγητης ως αρχηγος).
το κολπο επιασε,ολα τα παιδια απαντησαν σωστα και ο καθηγητης πειστηκε πως ηταν διαβασμενα.στο τελος της περιοδου ολα τα παιδια ευχαριστησαν τον ερατοσθενη και κεινος τους αποκαλυψε τη σκεψη του: "ΟΠΟΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ΚΑΝΕΝΟΣ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΥ ΤΟΥ ΠΛΗΝ ΤΟΥ 1 ΕΙΝΑΙ ΠΡΩΤΟΣ."οι συμμαθητες του δεν καταλαβαν ποτε πως ηταν το πρωτο ζωντανο "κοσκινο του ερατοσθενη" παρα μονο απολαυσαν τον καλο τους βαθμο στα μαθηματικα.οσο για τον καθηγητη,ποτε δεν καταλαβε πως ενας μαθητης του τον ειχε κιολας ξεπερασει...

Υ.Γ. κλικ στη εικονα για να δειτε πως δουλευει το κοσκινο για να παραγει τους πρωτους ως το 120.

Σάββατο, 2 Φεβρουαρίου 2008

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ

οταν πηγαιναμε στο σχολειο μας μαθαιναν πως αν κραταμε στο χερι μας εναν χαρακα τοτε θα μπορουσαμε να μετρησουμε οποιαδηποτε αποσταση.μηπως αυτο ειναι λαθος ομως? διοτι ο χαρακας ειναι ειναι εντελως "ισιος" ενω η αποσταση που ψαχνουμε ειναι απλωμενη πανω σε μια κλειστη καμπυλη,την επιφανεια της γης.αρα μηπως ο,τι μετρησαμε ως τωρα ητανε λαθος?
εγω απαντω αμεσως ναι! διοτι αν θες να μετρησεις μια αποσταση πανω σε μια καμπυλωμενη επιφανεια πρεπει και το οργανο της μετρησης να μπορει να καμπυλωνεται για να εφαρμοζει τελεια πανω στην επιφανεια.σκεψου ας πουμε το εξης απλουστερο προβλημα:Να βρεθει η αποσταση μεταξυ δυο σταθερων σημειων μιας μπαλας? και σε ρωτω:πως θα τη μετρησεις,με χαρακα? οχι βεβαια,θα βρεις λαθος αποτελεσμα.
πως μετραμε λοιπον την αποσταση πανω σε μια επιφανεια? ακομα κι αν υποθεσουμε οτι κραταμε τη μεζουρα που εφαρμοζει τελεια πανω σ αυτη, με πιο κριτηριο θα διαλεξουμε μια συγκεκριμενη διαδρομη για να ενωσουμε δυο σημεια.οι υποψηφιες διαδρομες ειναι απειρες!
εδω αρχιζουν τα μαθηματικα.για να λυσουμε το προβλημα πρεπει κατα καποιον τροπο να μιμηθουμε τη μετρηση των αποστασεων πανω στο επιπεδο.

ορισμός.
Η αποσταση δυο σημειων του επιπεδου ισουται με το μηκος της ευθειας που τα ενωνει.

θα μπορουσαμε να εφαρμοσουμε αυτο πανω σε μια επιφανεια? οχι,διοτι πανω στην επιφανεια δεν υπαρχουν ευθειες! απο που θα ξεκινησουμε τελος παντων?

παρατηρουμε οτι τελικα το προβλημα αναγεται στον ορισμο της ευθειας! στο επιπεδο ευθεια (ή σωστοτερα ευθυγραμμο τμημα) που ενωνει δυο σημεια ειναι ο συντομοτερος δρομος με αρχη το ενα και τελος το αλλο.θα κανουμε το ιδιο και για τις επιφανειες.

ορισμος.ο συντομοτερος δρομος μεταξυ δυο σημειων μιας επιφανειας λεγεται γαιωδαισιακη.

να λοιπον ποιες ειναι οι "ευθειες" πανω σε μια επιφανεια.ειναι οι γαιωδαισιακες.επομενως για μετρησουμε μια αποσταση πρεπει να γνωριζουμε ποιες ειναι αυτες οι γαιωδαισιακες πανω στην επιφανεια.η ευρεση τους εξαρταται καθε φορα απο την ιδια την επιφανεια.καθοριζονται με βαση την ζωογονο ιδιοτητα τους οτι ειναι καμπυλες ελαχιστου μηκους.
αν λοιπον βρουμε τις γγαιωδαισιακες μιας επιφανειας τοτε μπορουμε να μετραμε αποστασεις πανω σ αυτην.στην περιπτωση της σφαιρας αποδυκνυεται οτι οι γαιωδαισιακες ειναι οι μεγιστοι κυκλοι,δηλαδη οι κυκλοι που περνανε απο τους δυο πολους της.να λοιπον πως μετραμε την αποσταση δυο σημειων πανω σε μια μπαλα.βρισκουμε τον μεγιστο κυκλο που διερχεται απο τα δυο σημεια και υστερα μετραμε το μηκος του τοξου που τα ενωνει.αυτη ειναι η ζητουμενη αποσταση και τη βρηκαμε χωρις χαρακα!!