ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΟΞΑ

Οπως συμβαινει παντου στη φυση ετσι και στα μαθηματικα δεν υπαρχει παρθενογενεση.ενα συγκεκριμενο αντικειμενο δεν μπορει να δημιουργηθει απο το τιποτα-πρεπει κατι να προηγηθει που θα προκαλεσει τη δημιουργια του.

στα μαθηματικα αυτο που προηγειται παντα ειναι τα αξιωματα,δηλαδη καποιες προφανεις προτασεις της διασθησης μας που τις δεχομαστε a priori χωρις αποδειξη.στη συνεχεια με τους κανονες της λογικης συναγομε τα αποτελεσματα και με βαση αυτα τα αποτελεσματα παραγουμε αλλα αποτελεσματα κ.ο.κ.επομενως καθε προταση-θεωρημα των μαθηματικων αναγεται τελικα στα αξιωματα.χωρις αξιωματα δηλαδη δεν μπορουν να υπαρξουν μαθηματικα.αλλα και χωρις λογικη το ιδιο!!

σιγουρα το τελειοτερο συστημα αξιωματων που παραγει μια πολυ πλουσια θεωρια με απειρες εφαρμογες ειναι η γεωμετρια του ευκλειδη που μαθαινουμε στο λυκειο.εδω και 2000 χρονια οι μαθηματικοι ολου του κοσμου προσπαθησαν να μιμηθουν τον ευκλειδη στη δημιουργια μιας καινουριας θεωριας.λιγοι τα καταφεραν.στη θεωρια συνολων που μας απασχολει εδω,αυτο το εργο αποσειχτηκε πολυ δυσκολο.και αυτο διοτι ο διαισθητικος ορισμος του Cantor για την εννοια του συνολου οδηγουσε σε λογικα παραδοξα.

στη προσπαθεια του να θεμελιωσει τη συνολοθεωρια ο Gottlob Frege (και κατ επεκταση ολα τα μαθηματικα) δεχθηκε ενα ισχυρο πληγμα απο την επιστολη που του απεστειλε ο Bertran Russel στην οποια ισχυριζοταν οτι η βασικοτερη αρχη της θεωριας ηταν λανθασμενη διοτι οδηγουσε σε μια αντιφαση που κανεις δε μπορουσε να αποφυγει οσο κι αν προσπαθουσε.ο Frege απογοητευτηκε και χαρακτηριστικα ανεφερε τα εξης,

Δεν υπαρχει μεγαλυτερη ατυχια που μπορει να συμβει σε εναν συγγραφεα επιστημονικου συγγραματτος απ αυτην του να δει καποιο απο τα θεμελια του οικοδομμηματος του να τρεμει μετα το τελοςτης οικοδομησης.αυτη ηταν η θεη στην οποια περιηλθα μετα απο ενα γραμμα του κυριου Russel ακριβως τη στιγμη που το τυπωμα αυτου του τομου ηταν κοντα στο τελος του.

το προβλημα βρισκοταν στο πεμπτο αξιωμα του Frege συμφωνα με το οποιο δεν υπαρχει ιδιοτητα που να μην περιγραφει καποιο συνολο αποτελουμενο απο ακριβως εκεινα τα αντικειμενα που ικανοποιουν την ιδιοτητα αυτη.το παρεαδοξο του Russel ηταν απλο,συντομο και χτυπουσε κατ ευθειαν στην καρδια της θεωριας!το αξιωμα που χτυπουσε το παραδοξο ειναι γνωστο ως γενικη αρχη αρχη συμπεριληψης (ΓΑΣ) και φαινομενικα ελεγε το πιο λογικο πραγμα στον κοσμο.Π.χ. θεωρησε την ιδιοτητα <<ο χ ειναι μαλακας>>.φτιαξε τωρα το συνολο που εχει για μελη ολους αυτους που ικανοποιουν αυτη την ιδιοτητα,δηλαδη ολους τοτς μαλακες.αυτη ειναι η ΓΑΣ και ο Russel απεδειξε οτι ειναι λανθασμενη φτιαχνοντας ενα συνολο με αυτη τη συνταγη και καταληγοντας σε αντιφαση.


ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΤΟΥ RUSSEL

σχεδον ολα τα κοινα μαθηματικα συνολα εχουν την ιδιοτητα να μην ανηκουν στον εαυτο τους.π.χ.το συνολο ολων των αριθμων δεν ειναι αριθμος.ενα συνολο ομως συγκεκριμενα εχει την ιδιοτητα να ανηκει στον εαυτο του.ειναι το συνολο ολων των συνολων!θεωρουμε λοιπον το συνολο



οπου set(x)σημαινει οτι το x ειναι συνολο.οπως βλεπουμε αμεσως το Α ανηκει στον εαυτο του αν και μονο αν δεν ανηκει στον εαυτο του,αντιφαση!!επομενως η ΓΑΣ ειναι λαθος.η ελπιδες του Frege κατερευσαν σαν τραπουλοχαρτα.ευτηχως ομως η ιστορια επιφυλλασε για την σωτηρια της θεωρια τη μεγαλοφυια του Zermello.αυτος θα βγαζε τα καστανα απο τη φωτια και θα εδινε στη θεωρια συνολων τη θεση που της αξιζε.οπως ελεγε και ο Hilbert <<κανεις δε μπορει να μας απομακρυνει απο τον παραδεισο που ο Cantor εφτιαξε για μας>>.

στη συνεχεια θα δουμε πως γλιτωνουμε απο τα παραδοξα δεχουμενοι πως υπαρχουν κι αλλα πραγματα εκτος απο συνολα,οι κλασεις.

ΑΠΟ ΤΟ 0 ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ

αν δεν υπαρχουν φυσικοι αριθμοι,δεν υπαρχουν μαθηματικα,δεν υπαρχει τιποτα!Ετσι το 0 αποφασισε να αποβαλλει απο πανω του καθε ουσια.ο εγκεφαλος του cantor κατεβασε μια τρελη ιδεα.θα υλοποιουσε ολους τους φυσικους αριθμους μεσω του κενου συνολου,αυτης της εννοιας που δεν πειειγχε τιποτα και περειιγχε τα παντα συγχρονως.

στην αρχη προσπαθησε να συνειδειτοποιησει τη διαφορα δυο συμβολων.του {} και του {{}},οπου το {} συμβολιζει το κενο συνολο.ηταν δυσκολο.προσπαθουσε να βρει τι ηταν αυτο που τα εκανε τοσο ιδια και τοσο διαφορετικα.τελικα καταλαβε πως το μυστικο βρισκοταν στη μετρηση των στοιχειων.φυσιολογικα το {} ειχε 0 μηδεν στοιχεια ενω το {{}} περιεειγχε 1 στοιχειο το {}.αυτο ειναι τρελα καθαρη.διοτι αυτο το 1 στοιχειο ειναι το {} που δεν περιεγχει κανενα στοιχειο!! πως γινεται αυτο?πως γινεται να μη γελασουν και οι πετρες οταν το δημοσιευσω,σκεφτηκε!

κι ομως αυτη η καθαρη τρελα ηταν εντελως σωστη!και οχι μονο-του επετρεπε να ορισει ολους τους φυσικους αριθμους.απο δω και περα επρεπε να βρει εναν τροπο για να πηγαινει απο εναν αριθμο στον επομενο.αυτη η διαδικασια ονομαζεται επαγωγη και ειναι ανακαλυψη του ελληνα ανναγενησιακου μαθηματικου φραγκισκου μαυρολυκου.

χρειαζοταν λοιπον μια αρχη και μια συναρτηση που θα απεικονιζε καθε αριθμο στον επομενο του,οποτε ετσι θα οριζοταν βασει του 0 ολοι οι γνωστοι αριθμοι.στην αρχη εκανε τη μεγαλειωδη ταυτιση

0<--->{}
στη συνεχεια ορισε τη συναρτηση του επομενου

f(0)={0}={{}}=1,f(1)={1}={{{}}}=2,f(2)={2}={{{{}}}},....κτλ.

αυτη η επαγωγη οριζε σε καθε βημα και εναν φυσικο αριθμο ως ενα μονοσυνολο του μονοσυνολου του μονοσυνολου...του μονοσυνολου του κενου!!οι αριθμοι εγιναν αερας,σκονη,τιποτα!ειχε χαθει καθε ουσια απο μεσα τους.ο πυθγορας ελεγε οτι ο θεος ο ιδιος ειναι αριθμος.αν αυτο ειναι αληθεια τοτε κατα τον cantor δεν τρεχει και τιποτα αφου ο αριθμος ειναι ενα τιποτα.αρα και ο θεος ειναι αερας κοπανιστος!!ολα καλα.

ομως τα μαθηματικα εξακολουθουσαν να λειτουργουν,να λυνουν καθημερινα προβληματα να δυσκολευουν τους μαθητες,να δινουν ρεστα στις λαικες αγορες και να ερευνονται σε ολα τα πανεπιστημια του κοσμου,και ειδικα στη γερμανια των αρχων του 20ου αιωνα στο Goetiggen οπου ειχε μεγαλουργησει ο gauβ,o dirichlet,o riemann,o hilbert,o courant καιο minkowski,o κατα πολλους πραγματικος πατερας της σχετικοτητας.

το μονο που χρειαζοταν ηταν μια καλη θεωρια για τα συνολα,μια στερεη αξιωματικη θεμελιωση,διοτι με βαση τα συνολα οριστικαν ολοι οι αριθμοι.θα πρεπε να τεθει το προβλημα στη βαση του,στα θεμελια του.ηταν φανερο οτι αυτη η προσπαθεια θα επηρεαζε ολοκληρο το οικοδομημα των μαθηματικων,και την εξελιξη του.

για αλλη μια φορα επιστρατευτηκαν οι καλυτεροι του ειδους.συντομα ομως τα παραδοξα θα κατεστρεφαν (εστω και προσωρινα) καθε προσπαθεια θεμελιωσης των συνολων.ο Russel ηταν αυτος που εμελε να βαλει τη βομβα στο ισογειο της πολυκατοικιας.ο Goedel λιγα χρονια αργοτερα θα αποδυκνυε πως ποτε δε θα μασταν σιγουροι για το που παταμε.αλλα ευτυχως μαθαμε να ζουμε μ αυτο.

θα κανουμε μια προσπαθεια να μπουμε στα χωραφια της συνολοθεωριας,ισως του ωραιοτερου κλαδου των μαθηματικων.τα πραγματα θα δυσκολεψουν λιγο για αυτους που διαβαζουν αυτο το μπλογκ.η πορεια ομως θα ναι λογικη.απο τα αξιωματα θα παμε στα παραδοξα και μετα στην αντιμετωπιση τους.η θεωρια που θα προκυψει στο τελος θα λαμπει πεντακαθαρη σαν τον ηλιο.και αφου στερεωθουν τα συνολα θα μιλαμε για τα πιο σιγουρα μαθηματικα που φτιαχτηκαν ποτε!!καλη αρχη..

Η ΨΥΧΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ R-συνολοθεωρια

ολες οι εξισωσεις μπορουσαν εστω και δυσκολα να βρουν τις ριζες τους και ηταν ευτυχισμενες για αυτο.και τι ειναι αυτες οι ριζες δηλαδη?και γιατι να ειναι τοσο σπουδαιο να ξερει μια εξισωση που μηδενιζεται?

οι αριθμοι ειχαν βαρεθει να τους εκμεταλευονται οι εξισωσεις για να ικανοποιουν τα βιτσια τους.βεβαια δε μπορουσαν να αποφυγουν την εκμεταλευση γιατι εκεινος ο αλητης ο gauss ειχε αποδειξει το θεμελιωδες θεωρημα της αλγεβρας:καθε πολυωνυμο εχει τοσες ριζες οσες ειναι και ο βαθμος του,και ο αθεοφοβος το ειχε αποδειξει με 6 διαφορετικους τροπους.αφου λοιπον δε μπορουσαν να αποφυγουν τον βιασμο αποφασισαν να τον απολαυσουν.

το 0 ο αρχηγος ολων και ο πιο ταλαιπωρημενος απο ολους (αφου μηδενιζε καθε πολυωνυμο που δε διεθετε σταθερο ορο-δηλαδη απειρα πολυωνυμα!!)αποφασισε να βγαλει απο μεσα του καθε πρακτικη αξια που ειχε η υπαρξη του.θα γινοταν ενα τιποτα και αρα κανεις δε θα μπορουσε να τον εκμεταλευτει.το μονο ζωντανο θα ηταν το ονομα του-μηδεν-και απο κει και περα το χαος.και φυσικα θα παρεσερνε μαζι τους και ολους τους αλλους ως αρχηγος,διοτι καθε αριθμος προκυπτει απο τους φυσικους αριθμους και ολοι οι φυσικοι ειναι παιδια του 0.αν χαλασει λοιπον το μηδεν,χαλανε ολα.

επρεπε να βρεθει καποιο δυνατο μυαλο για να τα καταφερει.τα παλια τα χρονια ο ευδοξος και ο ευκλειδης αλλα και ο πυθαγορας του χαν δωσει υπρλαμπρη αξια.τωρα επρεπε να βρεθει καποιος να του την παρει αφηνοντας ομως ζωντανες ολοες τις ιδιοτητες του.δυσκολα πραματα.

επρεπε να περασουν 20 αιωνες απο την εποχη του ευκλειδη για να γεννηθει ο G.Cantor,αυτο το παιδι θαυμα,αυτος που μπηκε πρωτος στα μονοπατια του απειρου και που εμελε να αλλαξει τη μοιρα του κοσμου ολοκληρου.

οι ανθρωποι μιλουσαν παντα με αριθμους,αλλα κανεις ποτε δεν εδωσε εναν ορισμο για τον αριθμο.οι αριθμοι ηταν παντα τα εργαλεια για να δημιουργουμε μαθηματικα,αλλα τωρα επρεπε να εφευρουμε απο την αρχη το DNA των μαθηματικων.ο Cantor το σκεφτηκε πολυ καλα.θα βασισει τον αριθμο πανω σε μια ακλονητη εννοια,μια εννοια που δε θα αμφισβητεισει ποτε κανεις οσοι αιωνες και να περασουν.την εννοια του ΤΙΠΟΤΑ!


επρεπε βεβαιως να βρει πρωτα μια καταλληλη γλωσσα για να εκφρασει τον αριθμο ως παιδι του τιποτα.αυτο επρεπε να το κανει οπωσδηποτε.ομως ολα τα μαθηματικα γυρω του,ηταν πλημυρισμενα απο αριθμους,αρα καμενα χαρτια για τη δουλεια που επρεπε να γινει.ο μεγαλος μαθηματικος ομως,οταν βλεπει οτι ολα του ειναι αχρηστα γυρω γυρω,αποφασιζει να γεννησει μονος του τη γλωσσα που χρειαζεται.και ο Cantor ηταν πραγματικα μεγαλος μαθηματικος.

η θεωρια συνολων του γερμανου μαθηματικου θα λειτουργουσε αψογα και για παντα μετα το αρχικο σοκ της γεννησης.και μεσω αυτης της θεωριας το 0 εχασε ολα του τα προσοντα στα ματια των εξισωσεων.για την ακριβεια ολα τα μαθηματικα εγιναν εκφρασεις του τιποτα και συνδυασμοι τετοιων εκφρασεων.αν δεν υπαρχουν αριθμοι δεν υπαρχει τιποτα.ο πυθαγορας ελεγε μαλιστα πως ο ιδιος ο θεος ειναι αριθμος.μηπως ο Cantor τα παρεσυρε ολα στον πατο?κι ολα αυτα για να μη νιωθει ασχημα το 0?μεγας εισαι κυριε...

συνεχιζεται...

Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΕΜΠΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Στο βασσιλειο των αριθμων καθε πολυωνυμικη εξισωση ειχε τοσες λυσεις οσες δηλωνε και ο βαθμος της δηλαδη ο μεγιστος εμφανιζομενος εκθετης.ηταν ολοι χαρουμενοι,καθε εξισωση εβαλε σκοπο της ζωης της να βρει τις ριζες της.την αρχη εκανε η μικρουλα η πρωτοβαθμια


αχ+β=0

αφου εψαξε για λιγο βρηκε τον αριθμο που τη μηδενιζε και την εκανε να αισθανθει επιτελους γυναικα.ηταν ο -β/α και της εφτανε,διοτι η πρωτοβαθμια ηταν και μονογαμικια.

απο κει και πανω οι αλλες εξισωσεις ως πιο ανατολιτισσες ηθελαν πολους εραστες.η δευτεροβαθμια 2 η τριροβαθμια 3 και τα λοιπα.οσο ανεβαινε ο βαθμος τοσο ανεβαιναν και οι απαιτησεις της γυναικας(καθολου τυχαιο ε?).τελος παντων η δευτεροβαθμια βρηκε τις δυο ριζες ψαχνοντας λιγο μακρυτερα απο την πρωτοβαθμια.επρεπε να ταξιδεψει ως τη χωρα της διακρινουσας για να δει χαρα στα σκελια της!η διακρινουσα ηταν η χωρα που πηγαιναν διακοπες οι συντελεστες της εξισωσης για να γλιτωσουν απο κεινη τη γλιτσα τη μεταβλητη χ που εννιοτε το επαιζε και αγνωστη για να ικανοποιησει την ψωναρα της.αστα να παν. ηταν λοιπον η δευτεροβαθμια

αχ^2+βχ+γ=0

και η διακρινουσα της η Δ=β^2-4αγ και τελικα βρεθηκαν οι δυο ζητουμενοι εραστες

χ_1=(-β+Δ^1/2)/2α και
χ_2=(-β-Δ^1/2)/2α

και ησυχασε και αυτην,θα χε παντα αυτους του δυο για να την κανουν σκουπιδι,να τη μηδενιζουν.η τριτοβαθμια και η τεταρτοβαθμια εξισωση ξεσαλωσαν εντελως.η πρωτη βρηκε τρεις και η δευτερη βρηκε τεσσερις η λυσαρα.τελειωσαμε και μ αυτες.ειχε ερθει η σειρα της πεμπτοβαθμιας εξισωσης να βρει τους 5 εραστες της.

εν τω μεταξυ ολες οι προηγουμενες ηξεραν ποιον ακριβως γυρευαν διοτι οι ριζες τους δινονταν απο μια συγκεκριμενη συνταγη που εξαρτοταν καθε φορα απο τους συντελεστες.το ιδιο ηθελε και η πεμπτοβαθμια για τον εαυτο της.γιατι αυτες ξερουν τι να ψαξουν και γω να μην ξερω?αναρωτηθηκε και λογικα.γιατι να μη βρω και γω τις πεντε ριζες μου αμεσως στη χωρα της διακρινουσας?

ακουγοντας αυτο η μεταβλητη χ θυμωσε,τσαντιστικε,τα πηρε στο κρανιο.κατσε ρε φιλεναδα της λεει,εγω τι ρολο βαραω?θες μονο να καθομαι και να με αντικαθιστας μ αυτους που σε μηδενιζουν?ε λοιπον οχι,ως εδω.

απο δω και περα σταματουν τα γιατροσοφια και οι συνταγες.το R δεν ειναι τσελεμεντες να μαγειρευεις εσυ οτι γουσταρεις!

και αποφασισε το χ να μπερδεψει τοσο πολυ τις συνταγες που να μη μπορει να βρει καθε εξισωση τις ριζες της κατ ευθειαν απο τους συντελεστες της εκτος αν επροκειτο για πρωτοβαθμια η δευτεροβαθμια.αποφασισε να χαλασει τη συμμετρια στη χωρα της διακρινουσας ετσι που να γινει ενα απεραντο αχουρι για να μη μπορει κανεις να ψαξει μεσα της εκτος απο τις προηγουμενες εξαιρεσεις.αυτη η ευκολια(που λεγεται επιλυση με ριζικα) ειχε χαθει μια για παντα και καθε εξισωση θα επρεπε να ψαξει πολυ και ολομοναχη για να βρει τους εραστες της.

η πρωτη χαμενη ηταν η πεμπτοβαθμια εξισωση και ακολουθησαν και οι υπολοιπες.και μαλιστα τη στιγμη που ο i τις διαβεβαιωνε πως καπου πανω στο επιπεδο θα υπηρχαν οι πολυποθητοι αριθμοι.σαν το μαρτυριο του σισσυφου δηλαδη εγινε η δουλεια.

κι απο τοτε σαν τρελες απειρες εξισωσεις τρεχουν να βρουν τις ριζες τους.ξεροντας παντα πως αυτες καπου βρισκονται και πως ποτε δε θα βρεθει ο μαγικος χαρτης που οδηγει σ αυτες.απο μακρια κι αγαπημενοι δηλαδη!!

Η ΧΑΜΕΝΗ ΔΙΑΤΑΞΗ

εκει λοιπον που καθοταν οι αριθμοι ησυχα κι ωραια ξαφνικα μπουκαρει ο i.κανεις δεν τον περιμενε και λιγοι τον ηθελαν.ετσι γυρισαν ολοι να τον κοιταξουν.δεν εμοιζε με κανεναν απο τους γνωστους,επαθαν ολοι πλακα.εσπευσαν να τον αγγιξουν να δουνε τι σοι πραμα ηταν.κι αυτος δε μιλουσε,εκανε υπομονη.τους ειχε λυσει το προβλημα με την αρνητικη διακρινουσα και το νιωθε πως ειχε κανει κατι σπουδαιο.το θεμελιωδες θεωρημα της αλγεβρας ειχε αποδειχτει απο τον gauβ εξαιτιας του.ηταν σιγουρος ο τυπος κανεις δε θα τολμουσε να τον διωξει.και οχι μονο αυτο.απ φασισε να τους το κανει αχουρι το σπιτι τους.
μια μερα εκει που καθοταν στο σπιτι και σκοτωνε την ωρα του αποφασισε να βγει για ποτο.φορεσε τα καλα του και βγηκε παγανια στα μπαρακια του R (πραγματικη ευθεια).ηθελε να την πεσει στα γκομενακια.μπαινει λοιπον σε ενα μπαρ και αντικρυζει εκεινη τη θεογκομενα την εκθετικη συναρτηση.το πηρε απο φαση,θα της πετουσε τα ματια εξω εκεινο το βραδυ.αυτη ομως ηταν κυρια δε θα του καθοταν απο το πρωτο βραδυ.για ποια με περασες ρε μαγκα?του λεει κι αυτος τα πηρε στο κρανιο.αποφασισε να τα κανει λαμπογυαλο στο R.απο την επομενη μερα αρχισε να πηγαινει με ολους τους αριθμους για να εκδικηθει για τη χυλοπιτα.ως που καποια στιγμη οι πραγματικοι δε μπορουσαν να μπουν σε μια σειρα και να συννεχισουν τη ζωη τους.ειχαν χαθει τα παντα.δεν ηξεραν που βρισκονταν,ποιος ηταν πρωτος,ποιος ηταν δευτερος.ειχαν χασει τη σειρα τους.αποφασισαν να δρασουν.

μια επετροπη κατευθασε στο σπιτι του i για να τον παρακαλεσει να τους ξαναβαλει σε σειρα και να συνεχισουν τη ζωη τους.αλλα αυτο που πηραν ως απαντηση τους φιμωσε για παντα.καταλαβαν οτι αυτος ο εξωγηινος τους ηταν απαραιτητος αλλα και ζημιαρης.η συζητηση μεταφερεται αυτουσια:

- γεια σου i
-καλως τα παιδια.τι θελετε?
-να θελουμε να βαλεις παλι στη σειρα,να ξερουμε ποιος ειναι ο μεγαλυτερος και ποιος ο μικροτερος,μπορεις?
-μπορω αλλα πρεπει πρωτα να σκοτωσετε τα παιδια μας,τους μιγαδικους αριθμους.μπορειτε να το κανετε?
-οχι! τι ειναι αυτα που λες δολοφονε!
-ενταξει τοτε εγω θα ρωταω και σεις θα απαντατε και θα δειτε πως αυτο που θελετε δε γινεται.οκ?
-οκ! ξεκινα
-δε μου λες εσυ 0 που εισαι και αρχηγος,αν υποθεσουμε οτι μπορουμε να διαταχθουμε δε θα πρεπει να υπαρχει το συνολο των αριθμων που θα σε ξεπερναν? (οι θετικοι αριθμοι)
-σαφως,αυτο εξυπακουεται.
-ωραια,και για τους αλλους δε πρεπει να ισχυει το (-).(-)=+? δηλαδη το γινομενο δυο αρνητικων να κανει θετικο?
-σαφως και αυτο δε το συζηταμε.
-μαλιστα.και ειδικοτερα το τετραγωνο καθε αριθμου δεν πρεπει να ναι θετικο?
-ε βεβαια,δε γινεται αλλιως.
-και αν προσθεσω δυο θετικους δε θα πρεπει να βγαινει παλι θετικο?
-ε καλα αυτο κι αν εξυπακουεται.
-κοιτα ομως τι θα παθεις τωρα.
-τι?
-αν τετραγωνισεις εμενα και μου προσθεσεις το 1 (που ειναι θετικος) τι θα παρεις?
-θα παρω εμενα,δηλαδη 0.
-ναι αλλα εγω στο τετραγωνο (i^2) πρεπει να μαι θετικος η 0.και αν βαλω και 1 θα πρεπει i^2+1>0. ομως i^2+1=0.αρα καταληγουμε σε ατοπο ετσι δεν ειναι?
-ωχ,εχεις δικιο φιλε.
-ειδες που δε γινεται να ξαναμπειτε σε σειρα?
-μαλιστα δε γινεται εχεις δικιο.
-αιντε στο καλο τωρα.

η επιτροπη αποχωρησε ντροπιασμενη και με τις λιγες της δυναμεις ενημερωσε ολους τους αριθμους οτι η γαληνη τους ειχε χαθει για παντα.δεν υπηρχε τροπος να ξαναμπουν στη σειρα.κι αυτο λογω της εξισωσης που τους ειχε λυσει το προβλημα της αρνητικης διακρινουσας,

i^2+1=0

αργησανε να το αποδεχτουν αλλα στο τελος συμβιβαστηκαν και ηρεμησαν.και απο τοτε ολες οι πολυωνυμικες εξισωσεις βρισκουν ανετα τις ριζες τους στο απειρο αχουρι των αριθμων.
ολες ειπα? αμ δε....

Η ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ (...συνεχεια)

λεγαμε λοιπον οτι ο i δεν ειναι τοσο εξωγηινος οσο νομιζαν οι αλλοι αριθμοι.το σωστοτερο ειναι να πουμε πως αγνοουσαν την υπαρξη του.και αυτο βεβαια θα μπορουσε να αποδειχτει με την υπαρξη μιας σχεσης με αλλους αριθμους που ηταν ηδη γνωστοι.εκτος βεβαια απο τη σχεση του με το -1 που τον οριζε.υπαρχει λοιπον μια τεοια σχεση?ποιος γηινος αριθμος θα μπορουσε να συνδεθει για παντα με εναν εξωγηινο?κι ομως για αυτον τον σκοπο εσπευσαν οι καλυτεροι και σημαντικοτεροι αριθμοι.0,1,π και e (η βαση των νεπεριων λογαριθμων, e=2,71828..) οι πιο σπουδαιοι και οι πιο πολυχρησιμοποιημενοι απο ολους τους αλλους.ποια σχεση τους συνεδεσε?ειναι μαι σχεση παθους δυναμης και εξουσιας αναμεσα στους καλυτερους.

ο i ο εξωγηινος εισβολεας αποφασισε μια μερα να ταξιδεψει στη γη.τον ειχαν καλεσει ο Tartalia και ο Cardano για να τους βοηθησει να λυσουν την εξισωση 3ου βαθμου.τοσο δυσκολη ηταν! αμεσως ο αρχηγος, το 0, συγκαλεσε συμβουλιο με τους αρχιστρατηγους τον e,τον π και τον 1.επρεπε να βρεθει τροπος να εξοντωθει.θα εψαχναν τον μαγικο συνδυασμο για να οδηγησουν τον ακαλεστο επισκεπτη στο βουρκο και το σκοταδι.θα τον υποχρεωναν να οδηγηθει στο καστρο του αρχηγουν ,του 0, οπου δε θα χε καμια ελπιδα.επρεπε να βρεθει το μονοπατι της καταστροφης.οι ξεροκεφαλοι ομως δεν πηρανε χαμπαρι οτι ετσι το μονο που θα καταφερναν θα ηταν να τον βαλουν πιο βαθεια στην οικογενεια των αριθμων.
ψαχνανε να βρουνε ενα μυαλο που να κανει πραξεις σαν κομπιουτερακι τοσο γρηγορος επρεπε να ναι αυτος.διοτι εκτος απο τον αρχηγο και τον 1 οι αλλοι δυο ητανε αρρητοι οποτε ηταν σχεδον αδυνατο να γινουν πραξεις με αυτους.εκτος αν τις πραξεις τις εκανε ο μεγαλυτερος υπολογιστικος εγκεφαλος που εζησε ποτε.αμεσως βρηκαν τον ανθρωπο τους.ηταν ο leonhard Euler (1707-1783) o ελβετος που ζουσε για να υπολογιζει.κι αυτος τους δικαιωσε.

μετα απο τερατωδεις υπολογισμους εβγαλε απο το κεφαλι του και απεδειξε τον σπουδαιοτερο τυπο των μαθηματικων,

e^iπ + 1 = 0

οι σπουδαιοτεροι αριθμοι ειχαν συνδεθει με τον εξωγηινο για παντα.οχι μονο ταπρωτο παλικαρα 0,1,e,π δεν εξοντωσαν τον εξωγηινο i αλλα ο τελευταιος τους ειχε πιασει μαλακες.τους ειχε κανει ματ με τρεις κινησεις.δεν ειχε ξανασυμβει.οι πραγματικοι αριθμοι θεωρουνταν πλεον μιγαδικοι που τους ελειπε το φανταστικο μερος,ενω πριν λιγο καιρο οι μιγαδικοι θεωρουνταν μπασταρδεμενοι πραγματικοι.η αλλαγη ηταν επιπονη και μακροχρονια αλλα ο i πηρε τη θεση που του αξιζε.οι μιγαδικοι του στησαν αγαλμα στην κεντρικη πλατεια του επιπεδου και πλεον καθε αριθμος που σεβεται τον εαυτο του εχει και φανταστικο του μερος που δεν ηταν καθολου φανταστικο εδω που τα λεμε.μια χαρα υπαρκτο μερος ηταν.

οι αλλοι αριθμοι ενθουσιαστηκαν με τη νεα διευρυνση τους! αλλα ουδεν καλο αμιγες κακου.κατι ειχε χαθει.επρεπε να πεθανει κατι για να μπορεσει να μπει ο i στην οικογενεια.κατι μεγαλο και βασικο.κατι που εβαζε τα πραματα στη θεση τους και εκανε το συνολο των αριθμων να μοιαζει με σπιτι και οχι με αχουρι.τι ηταν αυτο αραγε που χαθηκε?υπηρχε τροπος να γλιτωσουυμε κακο? δυστηχως η απαντηση ηταν ΟΧΙ!! ηταν τοσο μεγαλο το κακο?

συνεχιζεται...

OI ΚΛΙΚΕΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Μια φορα και εναν καιρο ηταν οι γνωστοι μας φυσικοι αριθμοι (0,1,2,3,4,5,6,7...κτλ),οι οποιοι κατα τον Kronecker ηταν το δωρο του θεου στον ανθρωπο.Ως παλιοτεροι λοιπον αρχισαν να το παιζουν μαγκες μεταξυ τους αφου αλλοι δεν υπηρχαν.καθως ομως η ζωη των ανθρωπων δυσκολευε οι φυσικοι αριθμοι εχαναν την απολυτη κυριαρχια τους.ο Διοφαντος ας πουμε ειχε παει ενα βραδυ για ποτο στην αλεξανδρεια ( στο bar "THE NUMBERS") και δεν ειχε πανω του ουτε εναν οβολο.σκεφτηκε λοιπον και λεει στον μπαρμαν "ακου φιλε επειδη δεν εχω λεφτα θα στα χρωσταω.το ακουν οι αριθμοι που λες και μενουν μαλακες.τι θα πει χρωσταω? αυτοι το μονο που ξεραν ηταν να βγαζουν απο τον μεγαλυτερο τον μικροτερο και οτι εμενε ηταν η διαφορα.στην περιπτωση του διοφαντου ομως πως να αφαιρεσεις κατι απο το τιποτα?δε γινεται.
σηκωμεται τοτε το μηδεν και λεει στους αλλους αριθμους: " ε μαλακες,αν δε κανουμε κατι θα μας ξεχασουν ολοι.το βρηκα! θα γινουμε διπροσωποι.δηλαδη?ρωταν οι αλλοι.να ,λεει το 0,οταν καποιος δε θα μπορει να κανει την αφαιρεση θα του δανειζουμε και μετα θα τα χρωσταει! π.χ. ο διοφαντος χρωστουσε 7 οβολους.αρα πληρωσε -7 οβολους.το - (μειον) δηλαδη θα καθαριζει για μας" ετσι γεννηθηκαν οι ακεραιοι(οι φυσικοι και οι αντιθετοι τους),για να μπορει ο διοφαντος να πιστολιαζει στα μπαρακια.
αφουπερασαν τα χρονια καποια στιγμη τα εγγονια του διοφαντου ο αρχυτας και μητσαρας ειχαν γεννηθει και ο παππους τους θα τους πηγαινε δωρο απο μια σοκολατα.ομως ο περιπτερας του δωσε και μια δωρο και να σου ο διοφαντος να θελει να κοψει το 3 στα 2.τοτε το 3 γυρναει στο 2 και του λεει "ρε μαλακα αφου δε με διαιρεις ασε με ησυχο,πως θα με κοψεις στα δυο?"ομως τα παιδια επρεπε να φανε σοκολατα!το 0 καθαρισε παλι: "καντε τις παππιες,αν πρεπει να κοπει το 3 στα 2 τοτε το 2 θα παει και θα καθεται κατω απο το 3 με μια ομπρελα για να μη χτυπανε"ετσι γεννηθηκαν τα κλασματα που ηταν οι ρητοι αριθμοι και για καθε ρητο χρειαζοταν δυο ακεραιοι με τον απο κατω οχι μηδεν (γιατι οχι αληθεια?) .
και καπου εκει οι αριθμοι ησυχασαν.ειχαν καλυψει καθε δυνατη πραξη που μπορουσε να γινει.εφυγαν λοιπον για διακοπες! αμ δε...
εκει που παιζανε ρακετες στην παραλια ερχεται το ενα κλαιγοντας και λεει στον αρχηγο το 0 :"φιλε εχουμε προβλημα κατι μας ξεφυγε.τι? λεει το 0.να λεει ημουν πανω σε ενα ορθογωνιο τριγωνο με καθετες πλευρες μηκους 1 και οταν κουραστηκα πηγα να ξαπλωσω στην υποτεινουσα για να εχω λιγη απλα.ε και που ειναι το προβλημα?λεει το 0.να λεει προσπαθουσα να καταλαβω ποσες φορες χωραω πανω της και απεδειξα οτι αυτος ο αριθμος δεν ειναι ρητος.οριστε και η αποδειξη,αν υποθεσουμε οτι χωραω ρητο αριθμο φορων και γραψω το κλασμα αναγωγα τοτε αποδυκνυω οτι ο αριθμητης και ο παρονομαστης ειναι ζυγοι αρα το κλασμα απλοποιειται κι αλλο.δεν ειναι δυνατον φωναζει το 0.γυρναμε ολοι πισω!!! "
αφου σκεφτηκαν και ξανασκευτηκαν καταλαβαν οτι οι αρρητοι (οι οχι ρητοι) ειναι πολυ περισσοτεροι απο αυτους τους ρητους.αλλα αν οι ρητοι εκαναν μεγαλες αλυσιδες πιασμενοι χερι χερι τοτε θα μπορουσανε να βρουνε ολους τους αρρητους.τωρα πλεον ηταν σιγουροι,δεν ειχε ξεφυγει τιποτα,δεν υπηρχαν αλλοι αριθμοι.κι ομως...
ο ανθρωπος ειχε φτασει στο σημειο να λυνει δευτεροβαθμιες εξισωσεις και χαιροτανε πολυ οταν εβρισκε ποιοι αριθμοι μηδενιζουν ενα πολυωνυμο οποιουδηποτε βαθμου.υπηρχε ομως μια εξισωση που δε φαινοταν να μηδενιζεται πουθενα. ηταν η χ^2 +1 = 0.κανενας ρητος η αρρητος δεν την επαληθευε,και ηταν τοσο απλη η καημενη! μαζευτηκαν λοιπον οι πραγματικοι (ρητοι και αρρητοι ) και εφτιαξαν με τον νου τους εναν εξωγηινο που θα μηδενιζε την εξισωση.τον αποκαλεσαν φανταστικη μοναδα (δε θα τον δεχονταν ποτε ως ισο μ αυτους οι ρατσιστες) και του δωσαν και ενα ειδικο συμβολο για να ξεχωριζει.ηταν το i.ετσι μετα απο αυτο εγινε το πειραμα.βαλανε οπου χ τον i.και πετυχε,

i^2+1=0 ευρηκα!!!!
αργοτερα οι φανταστικοι αριθμοι(τα πολλαπλασια του i) παντρευοταν με τους πραγματικους αριθμους και ετσι γεννηθηκαν οι μιγαδικοι αριθμοι (απο το μιγαδες).τωρα η ιστορια ειχε κλεισει,η ανθρωπινη δραστηριοτητα δε θα γεννουσε αλλες αναγκες για νεους αριθμους.δεν υπηρχε περιπτωση.

Υ.Γ. μηπως ο i ο φανταστικος δεν ηταν τοσο εξωγηινος?....συνεχιζεται

ΤΟ ΚΟΣΚΙΝΟ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ

Μια μερα τα παιδακια του σχολειο ξεκινησαν να πανε εκδρομη.ο μαθηματικος ομως ειχε προγραματισει διαγωνισμα για κεινη τη μερα και θυμωσε προς στιγμην γιατι τα παιδια δε θα γραφαν.ηταν κρισιμο βλεπεις το διαγωνισμα.ειχε ομως την περιεργεια να δει ποσοι απο τους μαθητες του ητανε διαβασμενοι και ετσι αποφασισε να συνδυασει την εκδρομη με το διαγωνισμα ο αθεοφοβος.οχι δε θαβαζε τα παιδια να γραψουν την ωρα που επαιζαν ανεμελα,ηταν καλος ανθρωπος.
εκατσε και σκεφτηκε και αποφασισε να εξετασει τα παιδια κατα τη διαρκεια του περιπατου ζητωντας τους να κρατανε στο χερι τους τον αριθμο της σειρας τους.εβαλε τα παιδια το ενα πισω απο το αλλο και θα ρωτουσε(χαριτολογωντας για να μην τον καταλαβουν) καθενα αν ο αριθμος που κρατουσε ηταν πρωτος,δηλαδη αν διαιρουταν μονο με τον εαυτο του και τη μοναδα.ετσι θα καταλαβαινε ποια παιδια ειχανε διαβασει χωρις να επηρεασει τη χαρα της εκδρομης.
ο μικρος Ερατοσθενης ομως ηταν διαννοια στα μαθηματικα και καταλαβε αμεσως τους σκοπους του καθηγητη του.το λεγανε ολοι "αυτο το παιδι θα κανει μεγαλα πραγματα".μολις ξεκινησε ο περιπατος και προτου ο καθηγητης βαλει μπρος το τρομερο του σχεδιο μιλησε για λιγο με τον φιλο του τον αρχιμηδη.αφου τον ρωτησε κατι, σιγουρευτηκε για την αποφαση του να γλιτωσει ολη την ταξη απο την ερημην εξεταση της.
ξεκινησαν λοιπον και ο ερατοσθενης φωναξε."ΚΑΘΕ ΠΑΙΔΙ ΝΑ ΞΕΚΙΝΗΣΕΙ ΚΑΙ ΝΑ ΣΚΙΣΕΙ ΣΤΗΝ ΑΚΡΗ ΤΟΥ ΚΑΘΕ ΧΑΡΤΙ ΠΟΥ ΕΧΕΙ ΑΡΙΘΜΟ ΕΝΑ ΠΟΛΑΠΛΑΣΙΟ ΤΟΥ.ΠΡΟΣΟΧΗ!ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΣΚΙΣΕΙ ΤΟ ΔΙΚΟ ΤΟΥ ΧΑΡΤΙ ΚΑΙ ΑΣ ΕΙΝΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ΤΟΥ ΕΑΥΤΟΥ ΤΟΥ.ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΝΑ ΓΥΡΙΣΕΙ ΚΑΤΕΠΕΙΓΟΝΤΩΣ ΣΤΗ ΘΕΣΗ ΤΟΥ.ΤΟΤΕ ΤΑ ΧΑΡΤΙΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ ΣΚΙΣΤΕΙ ΑΝΑΓΡΑΦΟΥΝ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ!
ο ερατοσθενης ηταν σιγουρος πως θα πετυχει,και ας ακουσε τα παραπονα του μιλτιαδη που κρατουσε το 2 οτι χρειαστηκε να τρεξει ως τον τελευταιο,τον σωκρατη,που κρατουσε το 20.αντιθετως ο αριστειδης που κρατουσε το 11 δεν εκανε απολυτως τιποτα και ουτε εσκισε κανεις το χαρτακι του.απεμειναν ετσι με αθικτο χαρτακι μονο τα παιδια με τους αριθμους 2,3,5,7,11,13,17,19(το χαρτι με το 1 το κρατησε ο καθηγητης ως αρχηγος).
το κολπο επιασε,ολα τα παιδια απαντησαν σωστα και ο καθηγητης πειστηκε πως ηταν διαβασμενα.στο τελος της περιοδου ολα τα παιδια ευχαριστησαν τον ερατοσθενη και κεινος τους αποκαλυψε τη σκεψη του: "ΟΠΟΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ ΚΑΝΕΝΟΣ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΥ ΤΟΥ ΠΛΗΝ ΤΟΥ 1 ΕΙΝΑΙ ΠΡΩΤΟΣ."οι συμμαθητες του δεν καταλαβαν ποτε πως ηταν το πρωτο ζωντανο "κοσκινο του ερατοσθενη" παρα μονο απολαυσαν τον καλο τους βαθμο στα μαθηματικα.οσο για τον καθηγητη,ποτε δεν καταλαβε πως ενας μαθητης του τον ειχε κιολας ξεπερασει...

Υ.Γ. κλικ στη εικονα για να δειτε πως δουλευει το κοσκινο για να παραγει τους πρωτους ως το 120.

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ

οταν πηγαιναμε στο σχολειο μας μαθαιναν πως αν κραταμε στο χερι μας εναν χαρακα τοτε θα μπορουσαμε να μετρησουμε οποιαδηποτε αποσταση.μηπως αυτο ειναι λαθος ομως? διοτι ο χαρακας ειναι ειναι εντελως "ισιος" ενω η αποσταση που ψαχνουμε ειναι απλωμενη πανω σε μια κλειστη καμπυλη,την επιφανεια της γης.αρα μηπως ο,τι μετρησαμε ως τωρα ητανε λαθος?
εγω απαντω αμεσως ναι! διοτι αν θες να μετρησεις μια αποσταση πανω σε μια καμπυλωμενη επιφανεια πρεπει και το οργανο της μετρησης να μπορει να καμπυλωνεται για να εφαρμοζει τελεια πανω στην επιφανεια.σκεψου ας πουμε το εξης απλουστερο προβλημα:Να βρεθει η αποσταση μεταξυ δυο σταθερων σημειων μιας μπαλας? και σε ρωτω:πως θα τη μετρησεις,με χαρακα? οχι βεβαια,θα βρεις λαθος αποτελεσμα.
πως μετραμε λοιπον την αποσταση πανω σε μια επιφανεια? ακομα κι αν υποθεσουμε οτι κραταμε τη μεζουρα που εφαρμοζει τελεια πανω σ αυτη, με πιο κριτηριο θα διαλεξουμε μια συγκεκριμενη διαδρομη για να ενωσουμε δυο σημεια.οι υποψηφιες διαδρομες ειναι απειρες!
εδω αρχιζουν τα μαθηματικα.για να λυσουμε το προβλημα πρεπει κατα καποιον τροπο να μιμηθουμε τη μετρηση των αποστασεων πανω στο επιπεδο.

ορισμός. Η αποσταση δυο σημειων του επιπεδου ισουται με το μηκος της ευθειας που τα ενωνει.

θα μπορουσαμε να εφαρμοσουμε αυτο πανω σε μια επιφανεια? οχι,διοτι πανω στην επιφανεια δεν υπαρχουν ευθειες! απο που θα ξεκινησουμε τελος παντων?

παρατηρουμε οτι τελικα το προβλημα αναγεται στον ορισμο της ευθειας! στο επιπεδο ευθεια (ή σωστοτερα ευθυγραμμο τμημα) που ενωνει δυο σημεια ειναι ο συντομοτερος δρομος με αρχη το ενα και τελος το αλλο.θα κανουμε το ιδιο και για τις επιφανειες.

ορισμος.ο συντομοτερος δρομος μεταξυ δυο σημειων μιας επιφανειας λεγεται γαιωδαισιακη.

να λοιπον ποιες ειναι οι "ευθειες" πανω σε μια επιφανεια.ειναι οι γαιωδαισιακες.επομενως για μετρησουμε μια αποσταση πρεπει να γνωριζουμε ποιες ειναι αυτες οι γαιωδαισιακες πανω στην επιφανεια.η ευρεση τους εξαρταται καθε φορα απο την ιδια την επιφανεια.καθοριζονται με βαση την ζωογονο ιδιοτητα τους οτι ειναι καμπυλες ελαχιστου μηκους.
αν λοιπον βρουμε τις γγαιωδαισιακες μιας επιφανειας τοτε μπορουμε να μετραμε αποστασεις πανω σ αυτην.στην περιπτωση της σφαιρας αποδυκνυεται οτι οι γαιωδαισιακες ειναι οι μεγιστοι κυκλοι,δηλαδη οι κυκλοι που περνανε απο τους δυο πολους της.να λοιπον πως μετραμε την αποσταση δυο σημειων πανω σε μια μπαλα.βρισκουμε τον μεγιστο κυκλο που διερχεται απο τα δυο σημεια και υστερα μετραμε το μηκος του τοξου που τα ενωνει.αυτη ειναι η ζητουμενη αποσταση και τη βρηκαμε χωρις χαρακα!!